[백준 9020] 기본 수학 2 - 골드바흐의 추측

문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다.

예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

제한

• 4 ≤ n ≤ 10,000

예제 입력 3 8 10 16

예제 출력 3 5 5 5 5 11

 

풀이

 

주어진 짝수(n)를 두 소수로 나누되, 가장 차가 적은 두 소수를 출력하는 문제이다.

 

먼저 n을 2로 나눠, 그 수가 소수이면 두 수를 바로 출력하면 된다. (예: 10 -> 5 5)

 

만약 소수가 아닐 경우 한쪽 수(이하 a)를 감소시키면서 소수인지 판별하고,

 

소수라면 n - a 도 소수인지 판별해서 소수면 출력한다.

 

import sys
def prime_list(n): # 소수 테이블 생성
    p=[False, False, True] + [True, False] * (n//2)
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if p[i] == True:
            for j in range(i+i, n, i):
                p[j] = False
    return [i for i in range(2, n) if p[i] == True]

pl = prime_list(5082) # n의 최대값이 10000인데, 
					  # 10000은 4919 + 5081 이므로 5081 까지만 생성했다.

for i in range(int(input())):
    n=int(sys.stdin.readline())
    a=n//2
    if n!=4 and a%2==0:
        a-=1	
        # while에서 -2씩 홀수 단위로만 감소시키기 때문에, 두 수를 나눈 경우가
        # 짝수일 경우 -1을 하여 홀수로 만들어준다.
    while(a>1):
        if a in pl:
            if n-a in pl:
                print(a, n-a)
                break
            else:
                a-=2
        else:
            a-=2

 

 

하지만, 미리 소수 테이블을 생성해두었기 때문에

 

a를 소수로 판별했을 경우 나머지 수가 소수가 아니라고 해서 -2를 할 필요가 없다.

 

소수 테이블에서 인덱스를 구해 하나씩 감소시키면 불필요한 반복을 더욱 줄일 수 있는 것이다.

 

따라서 최종 코드는 다음과 같다.

 

import sys
def prime_list(n):
    p=[False, False, True] + [True, False] * (n//2)
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if p[i] == True:
            for j in range(i+i, n, i):
                p[j] = False
    return [i for i in range(2, n) if p[i] == True]

pl = prime_list(5082)

for i in range(int(input())):
    n=int(sys.stdin.readline())
    a=n//2
    if n!=4 and a%2==0:
        a-=1
    while(a>1):
        if a in pl:
            if n-a in pl:
                print(a, n-a)
            else:
                while(True):	# 소수 판별이 된 후부턴 테이블에서 찾아준다.
                    a=pl[pl.index(a)-1]
                    if n-a in pl:
                        print(a, n-a)
                        break
            break
        else:
            a-=2

 

위아래의 코드는 서로 약 두 배 가량의 시간차가 존재했다.