[🥇3 / 백준 1300 / 파이썬] K 번째 수

 

1300번: K번째 수

문제

세준이는 크기가 N×N인 배열 A를 만들었다. 배열에 들어있는 수 A[i][j] = i×j 이다. 이 수를 일차원 배열 B에 넣으면 B의 크기는 N×N이 된다. B를 오름차순 정렬했을 때, B[k]를 구해보자.

배열 A와 B의 인덱스는 1부터 시작한다.

입력

첫째 줄에 배열의 크기 N이 주어진다. N은 10⁵보다 작거나 같은 자연수이다. 둘째 줄에 k가 주어진다. k는 min(109, N²)보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

B[k]를 출력한다.

 

예제 입력  3 7

예제 출력  6

 

풀이

 

이분 탐색을 어떻게 접목시킬 지 고민이 많이 된 문제이다.

 

당연히 배열을 직접 만들어 정렬하여 찾는다면, 10^10 + logN 번 연산해야 할 것이므로 불가능하다.

 

따라서 배열이 없을 때에도 A[k]를 이분 탐색으로 찾아야 한다는 소리다.

 

문제를 조금 바꿔서 생각해야 한다.

 

배열 A의 k번째 수를 찾는 것이 아닌, 숫자 몇이 k번째 수가 될 것인지 찾는 문제이다.

 

k번째 수가 존재한다는 것은, k보다 작거나 같은 수가 k개 만큼 존재한다는 의미이다.

 

이를 이용해서 문제를 풀어보자.

 

 

n = 5일 경우 A는 위와 같이 구성된다.

 

여기서 예를 들어 k=10, 즉 A[10] 을 찾는다고 해보자.

 

이분 탐색을 할 것이므로 start, end, mid를 지정해야 한다.

 

start = 1end = n^2 = 25mid = (start + end)//2 = 13  이다.

 

이제 13보다 작거나 같은 숫자들을 찾는다.

 

i를 각 행의 시작 숫자라고 할 때,

 

min(13 // i, n) 의 합이 13보다 작거나 같은 숫자들이다.

 

위 공식으로 계산해보면 13보다 작거나 같은 숫자는 19개가 있다.

 

k = 10을 찾아야 하는데 19개이므로 오버카운트되었다.

 

따라서 end를 13으로 바꾸고 mid값을 7로 조정하고 다시 위의 과정을 반복하게 된다.

 

이런식으로 계산하다보면 mid가 5가 된다.

 

위 그림에서 5보다 작거나 같은 수는 총 10개이다.

 

따라서 mid = k = 10 이므로 A[10] = 5 이다.

 

n = int(input())
k = int(input())

start, end = 1, n**2
result = 0

if n**2 == k:
    print(k)
    # k가 n의 제곱이면 당연히 맨 끝자리 수이므로 k를 출력한다.
else:
    while(start < end):
        mid = (start+end)//2

        c = 0
        # mid보다 작거나 같은 숫자 계산
        for i in range(1,n+1):
            c += min(mid // i, n)
        
        if c >= k:
            end = mid
            result = mid
        elif c < k:
            start = mid+1
    print(result)