[🥈4 / 백준 17626 / 파이썬] Four Squares

17626번: Four Squares

 

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

예제 입력 1  25	예제 출력 1  1
예제 입력 2  26	예제 출력 2  2
예제 입력 3  11339	예제 출력 3  3
예제 입력 4 34567	예제 출력 4 4

 

풀이

 

자연수 n을 최소 개수의 제곱수의 합로 나타낼 때, 그 개수를 출력하는 문제이다.

 

일단 무작정 브루트 포스로 시도해보았다.

 

n = int(input())

minCount = float('inf')

def bf(n, count):
    global minCount
    
    if n == 0:
        minCount = min(minCount, count)
        return
    if count > minCount:
        return
    
    for i in range(int(n ** 0.5),0,-1):
        bf(n - i**2,count+1)
    
bf(n,0)
print(minCount)

 

하지만 자리수가 4자리수만 넘어가도 아주 오랜 시간이 걸렸다.

 

아무래도 다시 재귀를 호출할 때, 범위가 커서 그런 것 같았다.

 

따라서 재귀로 호출을 시도할 때마다 재귀의 깊이에 따라 n을 나눈 뒤 제곱근 한 값까지만 추적하도록 했다.

 

또한, 문제에서 무조건 4개 이하의 제곱수로 표현할 수 있다고 하여 minCount 값도 4로 조정했다.

 

만약 브루트 포스가 끝날 때까지도 값을 못 찾은 경우, 자동으로 4가 정답이 된다.

 

결과는 성공.

 

n = int(input())

minCount = 4

def bf(n, count):
    global minCount
    
    if n == 0:
        minCount = min(minCount, count)
        return
    if count > minCount:
        return
        
    for i in range(int(n ** 0.5),int((n//(4-count)) ** 0.5),-1):
        bf(n - i**2,count+1)
    
bf(n,0)
print(minCount)